什么是导数？导数是微积分学中的一个重要工具，它表示的是函数关于自身某个变量的无限小的变化率。对于函数 f (x)f x，有很多种方法可用来表示 ff 关于 xx 的导数。其中，最常见的是 开始 分数, 开始 分子, d f , 分子 结束,开始 分母, d x , 分母 结束 , 分数 结束d fd x 和 f'(x)f'x。对于 nn 次求导，可用 开始 分数, 开始 分子, 开始 幂, 开始 底数, d , 底数 结束,开始 指数, n , 指数 结束 , 幂 结束 f , 分子 结束,开始 分母, d 开始 幂, 开始 底数, x , 底数 结束,开始 指数, n , 指数 结束 , 幂 结束 , 分母 结束 , 分数 结束dn fdxn 或 开始 幂, 开始 底数, f , 底数 结束,开始 指数, n , 指数 结束 , 幂 结束 (x)fnx 来表示。我们称其为高阶导数。而对于二阶导数，则经常用记号 f''(x)f''x 来表示。
在点 x = ax = a 处的导数被定义为 f'(a) = 开始 极限, 开始 变量, h , 变量 结束,开始 目标值e, 0 , 目标值e 结束,开始 表达式, 开始 分数, 开始 分子, f (a + h) - f (h) , 分子 结束,开始 分母, h , 分母 结束 , 分数 结束 , 表达式 结束 , 极限 结束f'a = limh0f a + h - f hh 。该极限不一定存在，但是，如果存在，则可以说 f (x)f x 在 x = ax = a 处可导。从几何学上来看， f'(a)f'a 是 f (x)f x 在 x = ax = a 处切线的斜率。
我们来看一个范例，如果 f (x) = 开始 幂, 开始 底数, x , 底数 结束,开始 指数, 3 , 指数 结束 , 幂 结束f x = x3，则 f'(x) = 开始 极限, 开始 变量, h , 变量 结束,开始 目标值e, 0 , 目标值e 结束,开始 表达式, 开始 分数, 开始 分子, 开始 幂, 开始 底数, (h+x) , 底数 结束,开始 指数, 3 , 指数 结束 , 幂 结束 - 开始 幂, 开始 底数, x , 底数 结束,开始 指数, 3 , 指数 结束 , 幂 结束 , 分子 结束,开始 分母, h , 分母 结束 , 分数 结束 , 表达式 结束 , 极限 结束 = 3 开始 平方, 开始 底数, x , 底数 结束 , 平方 结束f'x = limh0h+x3-x3h = 3x2 再来计算 f''(x)f''x： f''(x) = 开始 极限, 开始 变量, h , 变量 结束,开始 目标值e, 0 , 目标值e 结束,开始 表达式, 开始 分数, 开始 分子, 3 开始 幂, 开始 底数, (x+h) , 底数 结束,开始 指数, 2 , 指数 结束 , 幂 结束 -3 开始 幂, 开始 底数, x , 底数 结束,开始 指数, 2 , 指数 结束 , 幂 结束 , 分子 结束,开始 分母, h , 分母 结束 , 分数 结束 , 表达式 结束 , 极限 结束 = 6xf''x = limh03x+h2-3 x2h = 6x。我们可以将导数这个强大工具应用到很多方面。例如，求局部/全局极值、求拐点、解决优化问题以及描述物体的运动。